导致 SuperMemo 方法形成的研究过程

3.1. 最优间隔的近似函数

Piotr Wozniak，1990年

本文摘自P.A. Wozniak于1990年在波兹南理工大学完成的硕士论文《学习的优化》。为在supermemo.com发表，进行了拼写检查，并调整术语。方括号中的内容，是后来补充的评论。文末的档案图片于2004年加入。

3. 导致SuperMemo方法形成的研究过程 3.1. 最优间隔的近似函数

1982年，我首次观察到一些记忆机制，后来把它们用于形成SuperMemo方法。当时，我是分子生物学学生，为通过数学、物理、化学、生物学等考试，需要掌握大量知识，让我不堪重负。问题并非学不会。通常，两三天高强度学习，就足以把考试所需数据塞进脑中。令人沮丧的是，考试几个月后，新学知识只有微不足道的一小部分，还能留在记忆里。

我的第一个观察，对每个细心的学生都很明显：学习的关键要素之一，是主动回忆。这意味着，只被动读书还不够，之后必须尝试从记忆中回想学过的事实。把学习过程建立在回忆之上的原则，下文称为主动回忆原则。如果学习者提出的是具体问题，而不是宽泛问题，回忆过程会快得多，效果也不会更差。因为宽泛问题的答案，包含描述答案各部分关系所需的冗余信息。

为了说明，想象一个极端情况：学习者要掌握一本教科书，却在回忆时只使用一个问题：“你从这本书学到了什么？”显然，描述各章顺序的信息，有助于回答这个问题，但对于真正想知道的内容，它肯定是多余的。把回忆过程建立在具体问题之上的原则，下文称为最小信息量原则。它看起来合理，还不只是因为能够去除冗余。

遵循主动回忆和最小信息量原则，我建立了最初的知识库，也就是问答集合，尝试把获得的知识留在记忆中。当时，知识库以手写形式保存在纸上。第一个知识库始于1982年6月6日，由若干页组成，每页约40对单词。每对中的第一个词，作为问题，是英语术语；第二个词，作为答案，是它的波兰语对应词。下文把这些词对称为条目。

我按不规则间隔复习知识库中的各页，主要取决于有没有时间，每次都记录复习日期、没记住的条目以及数量。只要复习足够频繁，这种保持已学知识的方法，对中等规模的知识库就足够了。

1983年11月，第一个英语知识库达到1000个条目，不规律复习变得低效得令人烦躁。1983年11月23日，我又开始建立人体生物学知识库。后来发现，生物学条目比英语条目更难记。随着知识库扩大，代价逐渐体现在知识保持上：留在记忆中的知识比例越来越低。到1984年底，我一直有机会观察重复间隔对学习效果的影响，已经准备好一个改进学习的新想法。值得注意的是，此时英语库约有3000个条目，生物学库约1400个。我估计保持率分别为60%和40%，复习时间分别约为每天10分钟和4分钟。这意味着，我以120条目/年/分钟的速度工作，即每天投入一分钟，每年记住120个条目。这些保持率太低，足以否定这种学习方法！

早期使用知识保持库时获得的大量实验数据，是很有价值的研究材料，直到现在也尚未得到完整解释，见第11章。不规则间隔，为了解记忆保持和遗忘提供了有趣视角。[间歇学习模型最终于2005年提出，见《通过复习建立记忆稳定性》。]

1985年初，我设计了两个实验，后来彻底改变了自己的学习方法，并促成SuperMemo方法的形成。

第一个实验很好地说明了，错误构想也可能产生有价值的结论。常见直觉认为，随着不断复习，知识应当越来越牢固，需要复习的频率越来越低。因此，按逐渐增长的间隔复习，应比始终使用相同间隔更有效。这个看法被证明并不成立。来看展示这一点的实验：

不同重复间隔模式对知识保持效果影响的实验，1985年1月31日至1986年8月2日。

所记知识共有195个条目，平均分成A、B、C三组。
每个条目形式如下：问题：英语不规则动词。答案：该动词的一般现在时、一般过去时与过去分词形式。
每组全部条目，都在一次会话中记忆，反复练到全部掌握。A组为1月31日，B组2月2日，C组2月3日。
确定两个最终对照测量日期：1985年12月6至7日，以及1986年8月1至2日，同时测量全部组的保持水平。每个条目的回忆准确性，用四级评分衡量。
在对照测量之前，A、B、C各组均独立复习六次，间隔如下：

复习次数	A组：在较长的108天中等间隔分布	B组：逐步增长的间隔	C组：在30天中等间隔分布
1	18天	1天	5天
2	18天	5天	5天
3	18天	9天	5天
4	18天	24天	5天
5	18天	44天	5天
6	18天	70天	5天

实验意图，是证明B组增长间隔最有利于巩固记忆，优于均匀分布的A组，或时间上集中的C组。实验结果见图3.1：

图中没有第二次对照测量结果，原因很普通：1985年10月开始的波兹南理工大学学习，要求完全掌握不规则动词，因此再测量已没有意义。

从图3.1可见，实验产生了意外结果，证明逐渐增长的复习间隔，不一定比固定间隔更好。幸运的是，在结果出来很久以前，我就怀疑存在最优复习间隔。在学习中采用这种间隔的原则，下文称为最优重复间隔原则。

接下来的实验，旨在确认最优复习间隔存在，并估计它们的长度。

近似确定最优复习间隔长度的实验，1985年2月25日至8月24日：

实验包含A、B、C等阶段，各阶段分别用来计算第二、第三、第四及后续准最优复习间隔。第一次间隔设为一天，因为此前数据表明，这似乎最合适。确定准最优间隔的标准是：尽可能长，同时允许的知识损失不超过5%。
在A、B、C各阶段，记忆材料均为5页，每页约40个条目，形式如下：问题：英语单词。答案：其波兰语对应词。
每个阶段所用的每页材料，都在一次会话中记住，第二天复习。为避免混淆，请注意，为简化后续讨论，我用“第一次复习”指一个或一组条目的最初记忆。毕竟，记忆和重新学习的形式相同：不断回答问题，直到错误数降为零。
A阶段，2月25日至3月16日：五页材料的第三次复习，分别在2、4、6、8、10天后进行，观察到的知识损失依次为0%、0%、0%、1%、17%。选择7天，近似第二个准最优间隔，也就是第二次与第三次复习之间的间隔。
B阶段，3月20日至4月13日：第三次复习均在7天后进行，第四次复习则分别间隔6、8、11、13、16天。观察到的知识损失依次为3%、0%、0%、0%、1%。选择16天，近似第三个准最优间隔。请注意，因为即使最长间隔后知识损失也很少，从科学上看，更合理的做法，是用更长的第三个间隔重新进行B阶段。但当时我太急于看到后续步骤的结果，不愿花时间重做一个看起来已经足够成功、保持率已经不错的阶段。
C阶段，4月20日至6月21日：第三次复习间隔7天，第四次间隔16天，第五次则分别间隔20、24、28、33、38天。观察到的损失依次为0%、3%、5%、3%、0%。5月31日至8月24日，用更长的第五次复习前间隔重做C阶段。间隔与损失如下：32天—8%，35天—8%，39天—17%，44天—20%，51天—5%，60天—20%。选择35天，近似第四个准最优间隔。

不难发现，实验的每一个阶段，耗时大约都是前一个的两倍。要确定最初十个准最优间隔，可能需要数年。实际上，随后几年我继续开展类似实验，以更深入理解对已记知识安排最优间隔的过程。不过，1985年8月24日，我决定把已有发现运用于日常学习。

不使用计算机的间隔重复中所用的SM-0算法，1985年8月25日。

把知识拆成尽可能小的条目。
把条目分组，每组20至40个元素。这些组下文称为页。
按以下间隔，以天为单位，复习整页： I(1)=1 I(2)=7 I(3)=16 I(4)=35 当i>4时，I(i):=I(i-1)*2 其中I(i)为第i次复习后采用的间隔。
把间隔35天后仍然遗忘的全部条目，复制到新建页面中，不从原页移除。新页面的复习方式，与第一次学习条目的页面相同。

注意，假定第五次复习之后，后续间隔每次翻倍。这个假定来自直觉，而不是实验。使用SM-0两年后，收集到足够数据，证实这个假设具有合理准确性。[另见《通过复习建立记忆稳定性》第4节：“记忆被优化，以适应环境的概率特性”。]关于由SM-0衍生的纸质SuperMemo方法的详细描述，见第7章。[点击此处查看同一文章的更新版本。]

形成算法后，我从1985年8月25日起用SM-0学习英语，也从1985年10月1日起用它学习生物学。后者间隔稍短，因为生物知识似乎更难记。第一次，我能兼顾较高保持率和不频繁的复习，结果是：记住的知识量持续增加，却不必增加时间负担！

很容易就能达到80%保持率，缩短复习间隔还可以进一步提高。不过，这会让复习更频繁，从而增加时间负担。所采用的间隔，在保持率与工作量之间提供了满意折中。直到1987年用计算机监督学习过程后，SM-0才有下一次重大改进。在此期间，新的英语库和生物库分别积累约7190和2817个条目。估计每个知识库每天工作12分钟，平均获取速率分别为260和110条目/年/分钟，最差保持率也达到80%。

尽管获取速率看起来未必惊人，但与此前的方法相比，SM-0具有革命性，原因有二：