SuperMemo 的进一步改进：引入最优因子矩阵

Piotr Wozniak，1990年

本文摘自P.A. Wozniak于1990年在波兹南理工大学完成的硕士论文《学习的优化》，并经调整后作为独立文章发布在网上。（P.A. Wozniak，1998年9月17日）

我没有继续改进SM-4算法采用的数学工具，而是决定重塑修改最优间隔函数这一概念。

先忽略较小的低效问题，更仔细地考察SM-4算法的主要缺陷：

1. 复习过程中，可能把某个间隔算得比前一次还短。这显然与SuperMemo方法所依据的一般假设不一致。而且，SM-5算法的应用结果也否定了这种结果的有效性，见后文。可以通过禁止间隔超出某些上下限来防止这种故障，但这种做法会给最优间隔增加多余依赖，严重减慢优化过程。实际在某个知识库中，就观察到了这种情况。尽管所涉间隔只有两周，直到SM-4使用期结束，这种不一致也没有消除。
2. 具体条目的E因子不断修改，见SM-4算法第6步，因此条目可能在OI矩阵中从一个难度类别移到另一个类别。如果该条目的复习次数已经足够多，就会严重扰乱复习过程。注意，复习次数越多，相邻E因子类别列中最优间隔的差别越大。因此，E因子上升时，所用最优间隔可能被人为拉得过长；反过来，则可能过短。

SM-4算法试图把最优间隔长度与复习次数联系起来。这似乎不正确，因为记忆更可能对上一次使用的复习间隔长度敏感，而不是对复习次数敏感。前一次间隔反映在记忆强度中，而复习次数显然没有被编码，见《包含SuperMemo理论要素的记忆分子模型》。

基于以上原因，我决定用最优因子矩阵，即OF矩阵，而不是OI矩阵，来表示最优间隔函数，见图3.3。

图3.3。

新采用的最优间隔函数形式如下：

I(n,EF)=OF(n,EF)*I(n-1,EF) I(1,EF)=OF(1,EF)

其中：

I(n,EF)：E因子等于EF的条目的第n个复习间隔，以天为单位。 OF(n,EF)：OF矩阵中对应第n次复习和E因子EF的单元格。

根据此前的观察，OF矩阵的值不允许低于1.2，参见SM-2算法的表述。

容易看出，应用OF矩阵消除了SM-4算法的上述两个缺点：

1. 后续复习的间隔不会变短，每一个都至少是前一个的1.2倍。
2. 改变E因子类别时，下一次间隔只会按OF矩阵中相应单元格要求的倍数增长。

3.5. 最优间隔的随机分散

为进一步改进优化过程，我们引入一种看似违背最优重复间隔原则的机制。重新考察SM-5的一个重要缺陷：对最优因子的修改，只有在以下条件满足之后，才能验证其是否正确：

• 修改后的因子被用于计算某个复习间隔。
• 计算出的间隔已经过去，完成一次复习，并得到可能提示需要增大或减小最优因子的作答质量。

这意味着，即使用大量实例修改某个最优因子，在新值被用于确定新的间隔、并等到间隔过去而验证之前，它也不会显著改变。

在把修改后的最优因子用于复习、并经过必要等待时间之后验证它的过程，下文称为“修改—验证周期”。复习次数越多，修改—验证周期越长，优化过程减慢得越明显。

为说明修改限制的问题，考虑图3.4中的计算。

容易得知，当INTERVAL_USED大于20，且QUALITY等于5时，MOD5等于1.05。因为QUALITY=5，MODIFIER等于MOD5，也就是1.05。因此，新建议的最优因子值NEW_OF，只能比此前值高5%，即NEW_OF:=USED_OF*MODIFIER。只要USED_OF不增加，修改后的最优因子就永远无法突破5%的上限。而增加USED_OF，就相当于把修改后的最优因子用于计算复习间隔。

考虑到这些事实，我决定在某些情况下，允许复习间隔偏离最优值，以绕开修改—验证周期施加的限制。

我把随机修改最优间隔的过程，称为分散。

如果允许少量间隔比OF矩阵所要求的更短或更长，这些偏离间隔就能加快最优因子的变化，让它们突破图3.4机制的上限而升高或下降。换句话说，如果某个最优因子的值与理想值相差很大，由偏离间隔造成的偶然变化，就不会被标准复习的数据流抵消，因为作答质量更可能促进这种变化，而不是与之对抗。

让间隔分布在最优值周围，还有一个好处：消除用户常抱怨的复习计划“成团”问题。所谓成团，就是复习任务集中在某些天，相邻日子却相对轻松。这是因为学习者经常在一次会话中记住大量条目，而这些条目在后续几个月里往往仍聚在一起，只根据E因子略作分离。

把间隔分散到最优值周围，就能消除成团问题。现在考察最新SuperMemo软件在最优值附近分散间隔时使用的公式。与OF矩阵认为最优的间隔略有不同的复习间隔，称为近似最优间隔，按下式计算：

NOI=PI+(OI-PI)*(1+m)

其中：

NOI：近似最优间隔。 PI：前一次使用的间隔。 OI：从OF矩阵计算的最优间隔，参见SM-5算法。 m：位于[-0.5,0.5]范围内的数，见下文。

或者，使用OF值：

NOI=PI*(1+(OF-1)*(1+m))

修改量m决定偏离最优间隔的程度，m=-0.5或0.5时偏离最大，m=0时完全不偏离。

一方面，要加速优化并消除成团，两者都要求较强的间隔分散；另一方面，要保持高保持率，又要求严格采用最优间隔。为取得折中，大多数情况下，m应接近零。

以下公式用于确定修改量m的分布函数：

• 选择位于[0,0.5]范围内修改量的概率，应等于0.5：

从0到0.5对f(x)dx积分，结果等于0.5。

• 假定选择m=0的概率，是选择m=0.5概率的100倍：

f(0)/f(0.5)=100

• 假定概率密度函数为负指数形式，参数a与b根据前两个方程确定：

f=a*exp(-b*x)

当m用百分数表示时，上述公式给出a=0.04652、b=0.09210。

从分布函数：

从-m到m对a*exp(-b*abs(x))dx积分，结果等于P，其中P表示概率。

可得到修改量m的值，对于m>=0：

m=-ln(1-b/a*P)/b

因此，计算近似最优间隔的最终过程如下：

a:=0.047; b:=0.092; p:=random-0.5; m:=-1/b*ln(1-b/a*abs(p)); m:=m*sgn(p); NOI:=PI*(1+(OF-1)*(100+m)/100);

其中：

random：在[0,1)范围内按均匀概率分布返回数值的函数。 NOI：近似最优间隔。 PI：此前使用的间隔。 OF：OF矩阵中相应单元格的值。

3.6. 改进预先设定的最优因子矩阵

用于变换OF矩阵的优化过程，效率令人满意，OF单元格的值能很快收敛到最终值。

不过，在所考察的1989年10月17日至1990年5月23日期间，似乎只有修改—验证周期较短，即小于3至4个月的最优因子，达到了平衡值。

还需要几年，才能更有依据地判断OF矩阵的最终形状。分析使用七个月的OF矩阵后，最有趣的明显发现是：E因子等于2.5时，第一次复习间隔应长达5天；E因子等于1.3时，甚至应长达8天！第二次间隔的对应值，则分别约为3周和2周。

新获得的最优间隔函数，可以表述为：

I(1)=8-(EF-1.3)/(2.5-1.3)*3 I(2)=13+(EF-1.3)/(2.5-1.3)*8 当i>2时，I(i)=I(i-1)*(EF-0.1)

其中：

I(i)：第i次复习后的间隔，以天为单位。 EF：当前条目的E因子。

为加速优化过程，应使用这个新函数确定OF矩阵的初始状态，即SM-5第3步。除第一次间隔外，新函数与SM-0至SM-5算法所用函数没有显著区别。有人可能把这个事实归因于优化过程效率不足，毕竟预设OF矩阵会带来先入影响。为了确认并非如此，我请三位同事使用实验版SuperMemo 5.3，其中采用取值统一的OF矩阵：两个实验的全部值均为1.5，另一个实验全部为2.0。

虽然实验知识库仅使用2至4个月，OF矩阵似乎正在缓慢收敛到采用预设矩阵时得到的形式。不过，预设矩阵继承了E因子与相应E因子类别下OF单元格值之间的人为相关性，即n>3时，OF(n,EF)接近EF。取值统一的矩阵中，没有出现这一现象，它们会使OF矩阵更紧密地适应算法中人为选定要素提出的要求，例如始终为2.5的E因子初值，以及复习后修改E因子的函数等。

3.7. 在最优因子矩阵中传播变化

注意到前文提到的OF矩阵单元格关系规律后，我决定通过在矩阵中传播修改，来加速优化。如果某个最优因子增加或减少，可以推断，对应更高复习次数的OF因子，也应增加。

这一点来自关系OF(i,EF)=OF(i+1,EF)，对所有E因子以及i>2大致成立。类似地，记住i>2时有OF(i,EF’)=OF(i,EF”)*EF’/EF”，特别是EF’与EF”足够接近时，就能考虑因子的理想变化。我只在OF矩阵中尚未被复习反馈修改的部分传播变化。对于前面所述实验版SuperMemo中采用的统一取值OF矩阵，这尤其成功。

建议的传播方案，可以概括如下：

1. 执行SM-5第7步后，找出OF矩阵中所有尚未在复习过程中修改的相邻单元格，即尚未进入修改—验证周期的单元格。这里相邻指复习次数相差±1、E因子类别相差±1，即E因子相差±0.1的单元格。

2. 当以下任一关系不成立时，修改相邻单元格：

• 对于i>2，所有EF都应满足OF(i,EF)=OF(i+1,EF)。
• 对于i>2，OF(i,EF’)=OF(i,EF”)*EF’/EF”。
• 对于i=1，OF(i,EF’)=OF(i,EF”)。

修改后，应当满足选定的关系。

3. 对第2步修改的全部单元格，再次查找尚未修改的相邻单元格，重复整个过程。

如果记住最优间隔函数依赖以下参数，就会发现变化传播似乎不可避免：

• 学习者的能力。
• 学习者的自我评价习惯，因为作答质量来自学习者的主观判断。
• 所记忆知识的性质等。

因此，不可能提供一个理想的预设OF矩阵，让人不再需要修改—验证过程，以及程度稍低一些的传播方案。

3.8. SM-5算法的评估

SM-5算法自1989年10月17日起使用。在高效确定所需最优间隔函数、从而提高知识获取速率方面，效果超出全部预期：9个月学会15000个条目。图3.5表明，获取速率至少是SM-2与SM-4结合使用时的两倍！

图3.5。

使用10个月的知识库，知识保持率提高到约96%。下面列出一些选定知识库的保持率数据，以比较SM-2与SM-5：

日期：测量日期。 知识库：知识库名称，ALL表示所有知识库的平均值。 间隔：知识库条目当前采用的平均间隔。 保持率：知识库中的知识保持率。 版本：知识库采用的算法版本。

复习过程中，记录到以下作答质量分布：

按照SM-5算法的基本假设，这种分布对应平均作答质量为4。遗忘指数等于11%，因为质量低于3的条目视为已遗忘。注意，保持率数据表明，知识库中只有4%的条目没有被记住，因此，遗忘指数是遗忘条目占比的2.7倍。

在使用七个月的知识库中，70%的条目在测量前的复习过程中一次都没有忘记，只有2%的条目忘记超过3次。至于修改最优间隔函数的算法的收敛情况，现在作出定论还太早，见图3.6。

图3.6。

图3.6：对于修改—验证周期较短的单元格，OF矩阵的变化。

第4章可以找到有关持续八个月SuperMemo学习过程的以下统计数据：

1. E因子分布。
2. 当前间隔分布。
3. 最优因子矩阵。
4. 最优间隔矩阵的等价形式，基于OF矩阵计算。