通过复习建立记忆稳定性

Piotr A. Wozniak 博士，SuperMemo World 研发部，波兰波兹南；Edward J. Gorzelanczyk 博士，波兰比得哥什大学助理教授；Janusz A. Murakowski 博士，美国特拉华大学助理教授。2005年春。

本文是论文《长期记忆双成分模型：描述不同回忆水平下记忆稳定性增加的符号公式》的通俗版本，原论文发表于“生物系统的控制论建模”会议。这里特别强调，SuperMemo 如何收集数据，帮助完善长期记忆双成分模型。文章也增加了一些实践结论，可能影响 SuperMemo 用户的学习策略。

1 记忆的 S/R 模型

十年前，我们发表论文，区分长期记忆的两个成分：稳定性与可提取性［Wozniak、Gorzelanczyk、Murakowski，1995］。论文首次勾勒了所谓 S/R 模型，使长期记忆分子模型更容易建立。迄今，这种区分尚未对本领域研究产生重大影响。这里再次强调 S/R 模型的重要性，并总结过去十年完善模型的发现，说明它如何有助于解析记忆与学习研究中看似矛盾的结果。

2 为什么需要两个变量描述长期记忆？

在记忆与学习文献中，经常遇到定义不清的“记忆强度”，或“突触连接强度”。不过，观察人脑怎样吸收信息，就会发现，至少需要两个独立变量，才能表示所谓记忆强度。一方面，复习过某个知识点后，我们记得很好，可以说“复习之后，记忆很强”。另一方面，某条信息在记忆里保留多年，即使有时回想会犹豫，我们也会说“对这个事实的记忆很强”。两种情况下，说的是不同现象，却都叫记忆强度。为了避免研究中的矛盾结果，把它们分开至关重要。我们为长期记忆的两个成分，提出了不同名称［Wozniak、Gorzelanczyk、Murakowski，1995］：

• 记忆可提取性，决定提取，也就是回忆一条记忆痕迹有多容易。
• 记忆稳定性，决定一条痕迹能在记忆中保留多久，也就是多久不被遗忘。

3 记忆变量的直观解释：可提取性与稳定性

长期记忆的可提取性与稳定性，都可以与许多分子或行为变量相关。不过，为了后续分析，我们提出两个直观度量：

• 把可提取性 R 表示为从记忆中提取一条信息的概率。虽然测量某个具体信息时，实际概率通常接近1或0，近似底层神经传递的“全或无”特征，但这个定义适合研究记忆痕迹群体。在相互独立的记忆群体中，每个记忆印迹在单位时间内遗忘的概率恒定，造成印迹不断减少。如果知道衰减函数，就能估计给定均质群体中，一条信息在某时刻被回忆的概率。后面会说明，可提取性随时间的函数，可以用指数衰减 R=e^(-d*t) 很好地近似，其中 t 为时间，d 为该均质记忆痕迹群体的衰减常数。
• 把稳定性 S 表示为使可提取性降到0.9的复习间隔。虽然分子层面的稳定性可能缓慢漂移，这个直观定义，却把它设为两次复习之间的常数。这个假定有效，因为我们只关心复习时的稳定性及其增加。

这两个直观解释，使我们更容易进一步用数学描述：长期记忆变量如何依据练习模式，也就是复习的时间安排，随时间变化。

可提取性的变化，表示为：

• (3.1) R=e^(-d*t)

其中：

• t：时间；
• R：时刻 t 的回忆概率，也就是可提取性；
• d：取决于稳定性的衰减常数。

可以用不依赖稳定性的常数 k，替换依赖稳定性的 d：

• (3.2) R=e^(-k*t/S)

其中：

• t：时间；
• R：时刻 t 的回忆概率；
• S：稳定性，以使可提取性达到90%，即 R=0.9，的复习间隔表示；
• k：不依赖稳定性的常数。

现在可以求出 k。按照稳定性 S 的定义，在 t=S 时，可提取性 R=0.9：

• (3.3) 0.9=e^(-k*S/S)
• (3.4) ln(0.9)=-k
• (3.5) k=ln(10/9)

本文将经常使用公式3.2和3.5。

4 记忆经过优化，以适应环境的概率特性

20世纪80年代，人们提出，可以通过研究环境事件推导记忆特性［Anderson 与 Schooler，1991］。这一主张的指导直觉是：记忆应反映环境的概率特性。考虑到进化可以相对容易地调整分子记忆属性，通过在不滥用容量的前提下，最大化有用信息存储，来优化生存，这种反映很有可能。

研究者从《纽约时报》中某些关键词的出现模式等研究，得出了有趣结论。如果记忆“强度”反映再次遇到某个词的概率，就可以推断：反映强度下降的遗忘，最好应为时间的幂函数，而不是大多数论文推断或假定的指数函数。

仔细看看《纽约时报》的例子，说明区分可提取性与稳定性，怎样帮助解释 Anderson 的工作。

把每个记忆事件视为伯努利试验，就能用二项分布，研究事件频率、再次出现间隔与遇见概率之间的关系。《纽约时报》中词语的出现，也适用。试验次数大、事件概率低，这里即关键词频率低，时，可以用泊松分布近似二项分布，并看到：Anderson 观察到，词语再次出现的概率，与距上次出现时间间隔之间呈幂关系，必然正确。换句话说，再次出现的概率，与距上次出现的间隔的倒数成正比。看起来，幂函数足以反映事件重现概率。因此，负幂曲线似乎是一个有充分进化理由的候选，可以反映优化良好的记忆系统中的遗忘。

然而，和当时及现在的大多数研究者一样，Anderson 依赖定义不清的记忆强度概念。如果明确区分 R 与 S，会怎样？究竟哪一个反映环境的概率特性？R 是“删除计时器”，测量自上次出现那个唤起待巩固记忆的刺激之后，经过的时间。如果平均出现率，与距上次出现的间隔成反比，回忆概率就应呈负幂下降。不过，出现率与可提取性似乎没有相关性。每次遇见或复习之后，回忆概率都重新升到1，不取决于刺激实际出现的频率！此外，如果回忆与1/t成正比，t 趋近0时，就会趋近无穷。可提取性显然不反映再次遇到刺激的概率。记忆系统只是用它，为记忆痕迹的寿命计时。更重要、更常见的刺激，寿命较长；但表达 R 的遗忘曲线，并不反映再遇概率。后文将论证：尽管人们预期它是负幂函数，遗忘曲线本质上却是负指数。

那么，稳定性符合 Anderson 的主张吗？稳定性是出现率一个很扎实的度量。每次再次遇到刺激，都会提高稳定性。如果再次把刺激流视为泊松过程，就可以预期，在第 r 次复习时，再遇概率与稳定性按如下方式增加：

• (4.1) P_(r)(N_(t)=0)=e^(-a)r^(*)^(t)
• (4.2) P_(r+1)(N_(t)=0)=exp(-a_(r)*(r/(r-1))*t)
• (4.3) ln(P_(r+1)(N_(t)=0))=(ln(P_(r)(N_(t)=0))/t)*r/(r-1)*t=ln(P_(r)(N_(t)=0))*r/(r-1)
• (4.4) P_(r+1)(N_(t)=0)=P_(r)(N_(t)=0)^^((r/(r-1)))
• (4.5) P_(r+1)(N_(t)>0)=1-(1-P_(r)(N_(t)>0))^^((r/(r-1)))

其中：

• t：时间；
• P_(r)(N_(t)=0)：第 r 次复习之前，在时间 t 内没有遇见的概率；
• P_(r+1)(N_(t)>0)：第 r 次复习之后，在时间 t 内遇见的概率；
• a_(r)：第 r 次复习之前的平均遇见率。

把稳定性的增加记为 SInc，并期望它与遇见概率的增加匹配，则：

• (4.6) SInc=P_(r+1)(N_(t)>0)/P_(r)(N_(t)>0)
• (4.7) SInc=(1-(1-P_(r))^(^(r/(r-1))))/P_(r)

当 r=2 时：

• (4.8) SInc=(1-(P_(r)^(2)-2P_(r)+1))/P_(r)=(-P_(r)^(2)+2P_(r))/P_(r)=-P_(r)+2

P_(r) 趋近0时，SInc 就趋近2。这正是最初提出、后来发展为 SuperMemo 的间隔重复技术中，直觉上所假设的稳定性增长。此外，当 P_(r) 较低、r>2 时，SInc 的逐次下降，也对应 SuperMemo 中 R 因子的幂下降。

总之，Anderson 针对记忆强度提出的主张，应针对稳定性，而非可提取性。应该测量并分析连续复习中的稳定性，而不是研究遗忘曲线。发现遗忘呈指数形式，不应削弱 Anderson 的主张。

不过，有一个观察，部分瓦解了以上简化模型，切断记忆与环境之间的直接联系，那就是间隔效应。显然，记忆不愿把环境刺激流当成泊松过程，不把单个事件视为独立，而会考虑事件在时间上的聚集。这是为了防止一簇概率上相关的事件，在建立稳定性的能力上，等同于数量相同的一串独立事件。

Anderson 的主张，必将成为理解记忆的可靠指引。完全阐明环境与记忆的联系，只是时间问题。区分 S 与 R，应能极大帮助避免长期记忆两种属性叠加造成的混淆。

5 记忆衰减函数呈负指数形式

虽然人们一直怀疑遗忘本质上呈指数形式，但证明从不简单。从放射性衰变到木材干燥，指数衰减在生物与物理系统中普遍出现：只要预期衰减数量与样本大小成正比，而且单个粒子衰减概率恒定，就会如此。自艾宾浩斯时代以来［Ebbinghaus，1885］，以下问题阻碍了遗忘建模：

• 样本量小；
• 样本异质；
• 混淆学习曲线家族中的遗忘曲线、重新学习曲线、练习曲线、节省曲线、达到掌握所需尝试次数曲线、错误曲线等。

利用 SuperMemo，可以克服这些障碍，研究记忆衰减的本质。作为流行的商业应用，SuperMemo 几乎能无限获取来自世界各地学生的大量数据。每位用户都能查看遗忘曲线图，路径为 Tools : Statistics : Analysis : Forgetting curves，即“工具：统计：分析：遗忘曲线”。它们根据相对均质的样本绘制，真实反映记忆随时间衰减，而不是其他学习曲线形式。不过，追求样本一致性，会显著影响样本量。 必须注意，稳定性与知识难度不同，遗忘曲线也不同。稳定性影响衰减速度，异质学习材料则产生多个不同衰减速度的曲线叠加。因此，即使学习过程涉及数十万条独立信息，也只能筛出相对较小的均质样本，通常不超过几千次复习。即便如此，这些数据的质量，也远超在受控条件下研究记忆特性的研究者所能获得的样本。不过，遗忘的随机性，仍使人难以最终确定衰减函数的数学本质，见下面两个例子。分析数十万个样本后，我们比以往更接近证明：遗忘是一种指数衰减。

图5.1：SuperMemo 绘制的遗忘曲线示例。从近一百万次复习的数据库样本中，筛出平均难度、较低稳定性的记录，A 因子为3.9，S 在［4，20］内，得到5850次复习，不到总样本的1%。红线是用 R=e^(-kt/S) 回归分析的结果。用其他初等函数拟合，表明指数衰减最符合数据。图中时间度量，是所谓 U 因子，定义为当前复习间隔与上一次间隔之比。注意，R 从1到0.9的范围内，指数衰减可以合理地近似为直线；如果是幂函数，就不会如此。

图5.2：SuperMemo 绘制的遗忘曲线示例。从近一百万次复习的数据库样本中，筛选平均难度、中等稳定性的数据，A 因子为3.3，S 大于一年，得到1082次复习。红线是用 R=e^(-kt/S) 回归分析的结果。

为了说明均质样本对研究遗忘曲线的重要性，看看把难知识与易知识混合，会怎样影响曲线形状。图5.3 表明，异质样本为什么可能使人对遗忘本质得出错误结论。这个示例中的异质样本，竟然用幂函数近似最好！指数遗忘曲线经过平均，会呈现幂曲线，这一点此前已有其他人报告［Anderson 与 Tweney，1997；Ritter 与 Schooler，2002］。

图5.3：遗忘曲线叠加，可能掩盖遗忘的指数性质。构造一个包含两类记忆痕迹的理论样本：50%的稳定性 S=1，用细黄线表示；另50%的 S=40，用细紫线表示。叠加曲线自然有可提取性 R=0.5*R_(a)+0.5*R_(b)=0.5*(e^(-k*t)+e^(-k*t/40))，在图中显示为黑色颗粒线。粗蓝线为指数近似，R²=0.895；粗红线为同一曲线的幂近似，R²=0.974。这个例子中，尽管两个子样本的遗忘都呈负指数，整体却用幂函数拟合最好。

6 复习使记忆稳定性增加的幅度

此前，我们还无法提出把一次复习与稳定性增加联系起来的通用公式。作者提出的复习间隔算法［Wozniak、Gorzelanczyk，1992］，基于对使用所谓最佳复习间隔时，稳定性如何增加的一般理解；最佳间隔定义为能产生已知回忆率，通常超过90%，的间隔。“最佳”指它适合学习使用。这些算法，也能用矩阵形式确定最佳间隔对应的准确稳定性增长函数。不过，低可提取性，也就是间隔不最佳时，稳定性如何增加，过去所知甚少。 借助 SuperMemo 收集的数据，现在可以尝试填补空白。虽然 SuperMemo 设计为使用最佳间隔，现实中用户却常因假期、疾病等原因，被迫推迟复习。因此，几乎每组材料，都包含相当数量可提取性较低的复习。另外，2002年 SuperMemo 引入间隔中途复习的概念，使缩短间隔成为可能。虽然中途复习在数据中的比例很小，但只要样本足够大，极低和极高可提取性的复习数量，应该足以把0.9水平上的稳定性增长发现，推广到整个可提取性范围。

要通过学习，以最佳方式建立稳定性，需要知道最佳间隔函数，或稳定性增加函数 SInc。它们有三个自变量：稳定性 S、可提取性 R，以及知识难度 D。传统上，SuperMemo 一直关注 S 与 D，因为计算间隔时，优化程序的首要标准，是保持较高可提取性。这种关注由稳定性增长函数的实际应用决定。 本文转而关注 S 与 R，尝试通过分析“纯知识”，也就是描述易学知识的非复合记忆痕迹，消除 D 维度。消除难度，让理论探讨更容易，结论以后可扩展到复合痕迹与较难知识。换句话说，从实践转向理论时，我们把兴趣从 (S,D) 移到 (S,R)。因此，本文所有数据集都按条目难度筛选：SuperMemo 的 A 因子在3.0至3.5之间，以平衡较多知识条目与较多复习次数。同时，尽量寻找大数据集，其中因延迟复习、偏离最佳间隔而产生的低可提取性条目，要有足够多的代表。

下面介绍一个两步程序，用于在难度低且一致的数据集中，提出描述不同可提取性水平下稳定性增加的符号公式。这些就是表述良好、容易保持的知识数据集。表述良好且一致的材料，使人容易提炼出通过复习进行长期记忆巩固的纯粹过程。正如本文其他地方讨论的，表述不良的知识，会使独立巩固过程叠加，不适合这项分析。

确定稳定性增长函数 SInc 的两步程序：

• 第一步：用矩阵表示 SInc，通过迭代，使实际学习得分与 SInc 预测得分之间的偏差 Dev 最小。Dev 定义为某个知识点一系列复习中 R−Pass 的总和；R 是可提取性，得分及格时 Pass 为1，不及格时为0。
• 第二步：用爬山算法求解最小二乘问题，评估 SInc 的候选符号公式，寻找与第一步得到的矩阵最匹配者。

先定义一个程序，根据给定练习模式计算稳定性。它既能根据已知学习得分计算，称为实践版本，也能只根据复习时间安排计算，称为理论版本。唯一区别，是实践版本允许根据不及格得分反映的随机遗忘，修正稳定性。

下面使用以下记号：

• S(t)：时刻 t 的记忆稳定性；
• S[r]：第 r 次复习后的稳定性，例如 S[1] 是初次学习某个知识点后的稳定性；
• R(S,t)：稳定性为 S、时间为 t 时的可提取性，已知 R=exp(-k*t/S)，k=ln(10/9)；
• SInc(R,S)：可提取性为 R、稳定性为 S 时，一次练习造成的稳定性增加，满足 SInc(R(S,t),S(t))=S(t”)/S(t’)=S[r]/S[r-1]。t’ 与 t” 分别代表练习时、巩固前后的时刻，t”−t’ 可视为0。

目标是找到适用于任意有效 R、S 水平的稳定性增长函数：SInc=f(R,S)。

如果能找到 SInc(R,S)，并设 S[1]=S_(1)，其中 S_(1) 是根据首次接触复习后的衰减函数、针对最佳复习间隔得到的稳定性，那么对任意复习历史，都能通过以下迭代计算 S：

r:=1; S[r]:=S_(1) repeat t:=Interval[r]; / Interval[r] 来自实际学习过程，即实践版本， / 或来自所研究的复习模式，即理论版本。 Pass:=(Grade[r]>=3); / Grade[r] 为第 r 个间隔后的得分，即实践版本； / 理论版本中取4。 R:=Ret(S[r],t); if Pass then S[r+1]:=S[r]*SInc[R,S[r]] r:=r+1; else begin r:=1; S[r]:=S_(1); end; until (r 为最后一次复习) 注意，SuperMemo 使用首次间隔图确定 S_(1)，每次不及格后，它都会缩短。以后应使用这个更精确的 S_(1) 度量，以提高准确性。

第一步：求出矩阵形式的 SInc

如果从未知矩阵 SInc[R,S] 开始，例如把所有元素任意设为2，见公式4.8，就能把上述程序用于已有复习历史，计算使偏差 Dev=R−Pass 最小的 SInc[R,S]。依据如下：

• 如果 Pass=true 且 S[r]<Interval[r]，那么矩阵元素 SInc[R,S[r-1]] 被低估，可以朝 Interval[r]/S[r]*SInc[R,S[r-1]] 修正。
• 如果 Pass=false 且 S[r]>Interval[r]，那么矩阵元素 SInc[R,S[r-1]] 被高估。

无论初始化时给 SInc[R,S] 什么值，这种方法都能得到相同的最终矩阵。用于从 SuperMemo 复习历史计算矩阵的应用与源代码，可以向作者索取。 第二步，将利用这里的矩阵，求出 SInc 的符号公式。

第二步：求出符号公式形式的 SInc

现在可以使用任何梯度下降算法，评估 SInc 的候选公式，找出最符合上述矩阵的一个。

检查矩阵，立即会发现：R 恒定时，SInc 关于 S 的函数，非常适合用负幂函数描述，如下面的数据集示例：

同一图的双对数版本，显示得更清楚：

SInc 与 S 呈幂关系的结论，印证了以前的发现。尤其是，SuperMemo 中 R 因子随复习类别下降，一直是用幂函数近似最好。

寻找 S 恒定时 SInc 与 R 的关系，会看到更多噪声，因为 SuperMemo 在低 R 区域提供的记录少得多，算法通常试图达到 R>0.9。不过，检查多个数据集后，我们得出了一个有些意外的结论：R 下降时，SInc 呈指数增加，后文会说明，这怎样产生 SInc 与时间近乎线性的关系。增加幅度高于预期，为间隔效应的力量提供了进一步证据。这个结论应对学习策略产生重大影响。

下面是 S 恒定时 SInc 关于 R 的函数的示例数据集。可以看到，SInc(R) 能用负指数函数相当好地近似：

同一图的半对数版本，将线性近似趋势线的截距设为1：

有趣的是，可提取性为100%时，稳定性增长可能小于1。某些分子研究指出，复习时记忆的不稳定性会增加。这进一步说明，反复死记硬背的危害，不只是浪费额外时间。

7 记忆稳定性增加的符号公式

知识难度恒定时，需要用二维曲面拟合，得到 SInc 的符号公式。我们采用修改后的 Levenberg–Marquardt 算法，测试若干可能准确描述 SInc 关于 S、R 关系的候选函数。算法加入持续随机重启循环，以确保找到全局最大值。最佳结果由以下公式得到：

• (7.1) SInc=aS^(–)^(b)*e^(cR)+d;

其中：

• SInc：一次复习造成的稳定性增加，即复习前后稳定性 S 的比值；
• R：复习时的可提取性，以百分比回忆概率表示；
• S：复习前稳定性，以产生 R=0.9 的间隔表示；
• a、b、c、d：不同数据集可能略有不同的参数；
• e：自然对数的底。

a、b、c、d 在不同数据集之间略有变化，可能反映用户与知识互动的差异。也就是说，不同用户面对不同材料，会产生不同难度分布，以及不同评分标准，这些都会影响最终测量。

举例来说，几个数据集的平均参数为：a=76、b=0.023、c=-0.031、d:=-2。其中 c 的跨数据集变化较小，a 与 d 的变异相对较大。

上述公式得到的 SInc，与均质数据集的 SInc 矩阵结果，平均相差15%。这里的均质，指按单个学生、单种知识、低难度、较窄 A 因子范围筛选的复习历史。

随着复习间隔增加，尽管时间经历双重指数运算，SInc 却沿着近乎线性的 S 形曲线增加，因为两个负指数运算相互抵消：

图7.1：SInc 随时间变化的图。采用公式7.1，在 S=240 时生成。

SInc 与时间近乎线性的关系，在 SuperMemo 中体现为：用 O 因子乘实际采用的复习间隔，计算新最佳间隔，而不是乘先前算出的最佳间隔。SuperMemo 的 O 因子，是二维矩阵 OF[S,D] 的元素，代表 R=0.9 时的 SInc。

8 不同可提取性下，记忆稳定性增加的期望值

定义记忆稳定性增加的期望值为：

• (8.1) E(SInc)=SInc*R

其中：

• R：可提取性；
• SInc：公式7.1所定义的稳定性增加；
• E(SInc)：考虑概率后的稳定性增长期望，即 SInc 定义的增长，被遗忘削减后的结果。

由公式7.1，得 E(SInc)=(aS^(–b)*e^(cR)+d)*R。求导 dE(SInc)/dR，并令其为0，就能找到不同稳定性水平下，使期望增长最大的可提取性。图8.1 展示 S<15 时，E(SInc) 关于 R 的图。用 SuperMemo 用户熟悉的术语说：短间隔中，稳定性增长的最大期望，出现在遗忘指数为60%时！这也意味着，SuperMemo 允许的最高遗忘指数20%，产生的稳定性期望增长，比最大可能值低近80%，前提是我们愿意牺牲高保持率。

图8.1：稳定性 S<15 时，稳定性增长期望 E(SInc) 关于可提取性 R 的函数。

9 知识复杂度影响遗忘速度

我们认为，学习难度由所记信息的复杂度决定。复杂知识产生两个效应：

• 与其他信息的干扰增加；
• 复习时，难以均匀刺激记忆痕迹的各个子成分。

在学习中采用合适的知识表征，可以对抗这两个难度来源。

看看知识复杂度，怎样影响稳定性的建立。

设想要学习：玛丽·斯克沃多夫斯卡—居里，是1911年诺贝尔化学奖的唯一获奖者。有两种方法：保留复杂知识，或采用简单表述。复杂版本中，为记住姓名与获奖年份，可以设计双挖空：

• 问：［……］是［……］年诺贝尔化学奖的唯一获奖者。
• 答：玛丽·斯克沃多夫斯卡—居里，1911。

简单版本中，把双挖空拆开，把波兰娘家姓设为可选，并另做第三个挖空：

• 问：［……］是1911年诺贝尔化学奖的唯一获奖者。
• 答：玛丽·（斯克沃多夫斯卡—）居里。
• 问：玛丽·斯克沃多夫斯卡—居里，是［……］年的诺贝尔化学奖唯一获奖者。
• 答：1911。
• 问：玛丽·［……］—居里，是1911年诺贝尔化学奖的唯一获奖者。
• 答：斯克沃多夫斯卡。

此外，要完整学习，简单版本还需要两个挖空，因为玛丽·居里也是1903年诺贝尔物理学奖得主，还获得过其他奖项：

• 问：玛丽·斯克沃多夫斯卡—居里，是1911年诺贝尔［……］奖的唯一获奖者。
• 答：化学。
• 问：玛丽·斯克沃多夫斯卡—居里，是1911年［……］的唯一获奖者。
• 答：诺贝尔奖，化学奖。

现在考虑原来的复合双挖空。为便于论证，假定记住1911与居里这个名字一样难。复合痕迹，也就是整个双挖空，的可提取性，是两个子痕迹可提取性的乘积。这来自一个一般规律：大多数情况下，记忆痕迹很大程度上相互独立。虽然忘掉一个痕迹，可能增加忘掉另一个的概率，但经验表明，绝大多数情况下，同主题中分开且不同的问题，可以有完全独立的学习过程，回忆与遗忘彼此无法预测。看看把回忆概率视为独立事件，怎样影响复合痕迹的稳定性：

• (9.1) R=R_(a)*R_(b)

其中：

• R：二元复合记忆痕迹的可提取性；
• R_(a) 与 R_(b)：两个独立记忆子成分，也就是子痕迹 a、b 的可提取性。
• (9.2) R=exp(-kt/S_(a))*exp(-kt/S_(b))=exp(-kt/S)

其中：

• t：时间；
• k：ln(10/9)；
• S：复合记忆痕迹稳定性；
• S_(a) 与 S_(b)：子痕迹 a、b 的稳定性。
• (9.3) -kt/S=-kt/S_(a)-kt/S_(b)=-kt(1/S_(a)+1/S_(b))
• (9.4) S=S_(a)*S_(b)/(S_(a)+S_(b))

后续分析复合痕迹时，将使用公式9.4。可以预期，如果最初子痕迹稳定性 S_(a)、S_(b) 相差很大，那么以最大化 S 为目标，也就是以 R=0.9 为标准，安排后续复习，可能因时机不佳而削弱子成分的稳定性。下一节说明，实际并非如此。

10 复合记忆痕迹的子稳定性会收敛

前文已见 R=exp(-k*t/S)。如果制作双挖空，不能确定一次复习是否均匀激活了存储两条知识的两个记忆回路。假定首次复习是两条痕迹唯一的差异来源，其余学习过程都遵循上述公式。

为研究以 R=0.9 为标准、针对复合稳定性优化的练习模式下，子痕迹稳定性如何变化，设：

• S_(a)=1
• S_(b)=30
• S=S_(a)*S_(b)/(S_(a)+S_(b))，由公式9.4；
• SInc=aS^(–b)*e^(cR)+d，由公式7.1；
• 复合痕迹在 R=0.9 时通过练习得到巩固，并保证两个子痕迹同等地再巩固，也就是复习整体时，不忽略任何子痕迹。

如图10.1，复合痕迹的稳定性，始终小于单个子痕迹，不过，子痕迹的稳定性会收敛。

图10.1：采用针对整个复合痕迹优化的同一复习模式，也就是复合可提取性达到0.9时复习，各子痕迹稳定性收敛。横轴为复习次数，纵轴为稳定性的对数。蓝线与红线，是初学后稳定性差异很大的两个子痕迹；黑线是复合稳定性，S=S_(a)*S_(b)/(S_(a)+S_(b))。如果每次复习都均匀激活底层突触结构，S_(a) 与 S_(b) 的差异就会自行修正。

11 复合稳定性的增加，等于子痕迹稳定性的增加

现在考虑，复合稳定性 S 与子痕迹稳定性 S_(a)、S_(b) 的 SInc 相差多少。如果假定对子痕迹的刺激相同，并把 SInc_(a)、SInc_(b) 记为 i，那么第 r 次复习时，有：

• SInc_(a)=SInc_(b)=i
• S_(a)[r]=S_(a)[r-1]*i
• S_(b)[r]=S_(b)[r-1]*i
• S[r]=S_(a)[r]*S_(b)[r]/(S_(a)[r]+S_(b)[r])=
• =S_(a)[r-1]*S_(b)[r-1]*i^(2)/(S_(a)[r-1]*i+S_(b)[r-1]*i)=
• =i*(S_(a)[r-1]*S_(b)[r-1])/(S_(a)[r-1]+S_(b)[r-1)=i*S[r-1]

换句话说：

• (11.1) SInc=i=SInc_(a)=SInc_(b)

以上说明，在本模型中，只要各子痕迹同等再巩固，稳定性的增加，就不依赖知识复杂度。

12 基于稳定性与可提取性区分的分子记忆模型

在分子层面，区分两者，可能有助于解决某些看似矛盾的问题，例如“安帕金类能改善记忆吗？”如果安帕金类激活 AMPA，可能提高可提取性，却恶化 NMDA 解除阻断与记忆巩固的条件。因此，可能看似矛盾地改善回忆、损害学习。S/R 模型的区分，是这类分析的核心。多数记忆研究涉及短时间尺度，只会产生与 R 有关的结果，更凸显模型对理清实验矛盾的重要性。

下面展示 S/R 模型对建立长期记忆分子模型的价值。使用长期记忆双成分模型提出的指导原则［Wozniak、Gorzelanczyk、Murakowski，1995］：

1. R 应与回忆概率相关；遗忘应理解为 R 降到0。
2. 第一次复习后，R 就应达到高值，随后在几天内迅速下降。
3. S 决定 R 下降的速度；稳定性越高，可提取性下降越慢。
4. 每次复习，S 都增加，R 下降得更慢。
5. S 只有经过较多复习，才应达到高值。
6. 复习间隔中，S 不应显著变化。
7. R 很高时，复习不会显著影响 S，这就是间隔效应。
8. 只有有效复习，也就是间隔足够长之后的复习，才增加 R 与 S。
9. 遗忘应使 S 降到0。

依据 S/R 指导原则的长期记忆模型示例

变量：

• R 是 AMPA 的磷酸化程度。
• S 是插入膜中的 AMPA 受体数量。

指导原则，参见 Wozniak、Gorzelanczyk，1998：

1. 磷酸化 AMPA 改善神经传递，因此回忆更好。
2. 学习时，经 NMDA 流入的钙，激活包括 CaMKII 在内的级联反应，导致 AMPA 磷酸化；起初，自发去磷酸化很快。
3. 膜中插入的 AMPA 越多，磷酸化 AMPA 越稳定，可能通过突触后致密区 PSD 的结构变化实现；去磷酸化更慢。
4. 膜的稳定性变化，使更多 AMPA 稳定整合；每次有效复习，都提高稳定性。
5. 突触在稳定状态存活越久，每次复习就会更进一步稳定。
6. 没有回忆时，AMPA 去磷酸化逐渐降低 R，但 AMPA 仍留在膜中，稳定性变化不大。
7. AMPA 磷酸化程度高时，突触容易传递；由于超极化，NMDA 的镁阻断不能解除，因此稳定性不增加。只有去磷酸化降低 R，也就是降低 AMPA 传递时，NMDA 镁阻断才能解除，再通过钙电流增加稳定性。
8. NMDA 解除阻断时，新的 AMPA 整合入膜，并充分磷酸化，使可提取性最大。合成更多 AMPA 受体，也可能发挥作用。
9. S 越高，通过 PSD 结构变化进一步增加它，就越容易。

总结

1. 用使可提取性达到0.9的复习间隔表示稳定性，有助于进一步开展富有成果的理论研究。
2. 稳定性可以反映环境中事件再次出现的概率。不过，间隔效应使人不能把事件出现视为泊松过程。
3. 每次后续复习，稳定性的增加幅度都更小。把环境事件视为泊松过程，可以解释这一点。出现率低时，泊松过程预测的首次复习稳定性增幅趋近2。
4. 遗忘是一种负指数衰减。SuperMemo 收集的大数据集支持这一观察。样本小、异质，解释了其他研究者为什么可能得到不同结论。此外，并非所有学习曲线，都能表示可提取性。
5. 稳定性越高，练习造成的稳定性增加越小；关系用负幂函数表示。
6. 可提取性越低，练习造成的稳定性增加越明显；关系似乎最好用负指数函数表示。
7. 找到了描述练习所致稳定性增加的符号公式。SuperMemo 收集的大数据，使这项发现成为可能。公式可能为长期记忆建模打开广阔前景，也让没有编程背景的研究者能进入这一领域。
8. 练习造成的稳定性增加，取决于练习时间。时间与增幅呈 S 形关系，但实际应用中，在有限时间范围内，可以很好地用线性函数近似。
9. 稳定性增长的期望，定义为可提取性与稳定性增幅之积，在可提取性约0.4时最大。
10. 二元复合记忆的稳定性，可以由子痕迹稳定性计算：S=S_(a)*S_(b)/(S_(a)+S_(b))。由更多子痕迹构成的复合记忆，也能推导类似公式。
11. 如果子痕迹同等再巩固，它们的稳定性会在复习过程中收敛。
12. 如果子痕迹同等再巩固，复合痕迹的稳定性增加，等于各子痕迹的增加。
13. S/R 记忆模型，有助于解析长期记忆分子基础研究中的矛盾发现。

参考文献：

• 《记忆中环境的反映》；Anderson, J. R., & Schooler, L. J. (1991). Reflections of the environment in memory. Psychological Science, 2, 396 – 408
• 《作为涌现属性的幂律》；Anderson, R. B. (1997). The power law as the emergent property. Bowling Green State University.
• 《遗忘中人为产生的幂曲线》；Anderson, R. B., & Tweney, R. (1997). Artifactual power curves in forgetting. Memory & Cognition, 25,724-730
• 《记忆：对实验心理学的贡献》；Ebbinghaus H. (1885). Memory: A Contribution to Experimental Psychology
• 《学习曲线》；Ritter, F.E., & Schooler, L. J. (2002). The learning curve. Encyclopedia of the Social and Behavioral Sciences. 8602-8605
• 《配对联想学习中复习的最佳安排》；Wozniak, P.A., Gorzela?k, E.J. (1992). Optimal scheduling of repetitions in paired-associate learning. Acta Neurobiologiae Experimentalis, Vol. 52, p. 189
• 《长期记忆的两个成分》；Wozniak P.A, Gorzela?k, E.J., Murakowski J. (1995). Two components of long-term memory. Acta Neurobiologiae Experimentalis, Vol. 55, p. 301-305
• 《长期记忆双成分模型的假设性分子对应物》；Wozniak P.A, Gorzela?k, E.J., (1998). Hypothetical molecular correlates of the two-component model of long-term memory. Symposium of the Polish Network of Molecular and Cellular Biology